1 MOVIMENTO RETILÍNEO

CINEMÁTICA

CINEMÁTICA TEM COMO FUNÇÃO INTERPRETAR FENÔMENOS QUE DESCREVEM OS MOVIMENTOS, SEM EXPLICAR AS CAUSAS QUE GERAM ESTES MOVIMENTOS. PARA ENTENDER COMO PROCEDE O ESTUDO, DEVEMOS TER EM MENTE ALGUMAS PROPRIEDADES GERAIS DO MOVIMENTO, QUE É RESTRITO DE TRÊS FORMAS.

1. O MOVIMENTO É UNICAMENTE RETILÍNEO. A DIREÇÃO PODE SER VERTICAL (UMA PEDRA CAINDO), HORIZONTAL (UM CARRO SE DESLOCANDO NUMA RODOVIA PLANA), OU INCLINADO, MAS DEVE SER RETILÍNEA.

2. A CAUSA DO MOVIMENTO SÓ SERÁ ESTUDADA NO CAPÍTULO DE "DINÂMICA" NESTE BLOG. PORÉM AQUI SÓ TRATAREMOS DE ANALISAR O MOVIMENTO EM SI MESMO.

3. O MÓVEL, OU É UMA PARTÍCULA (UM OBJETO PUNTIFORME, COMO UM ELÉTRON), OU É UM CORPO QUE SE MOVE COMO UMA PARTÍCULA (TODOS OS PONTOS SE DESLOCAM NA MESMA DIREÇÃO E COM A MESMA VELOCIDADE). UM BLOCO DESLIZANDO PARA BAIXO NUM ESCORREGADOR RETO PLAYGROUND PODE SER TRATADO COMO UMA PARTÍCULA; ENTRETANTO, UM CARROSSEL EM ROTAÇÃO NÃO PODE, PORQUE PONTOS DIFERENTES DA SUA BORDA MOVEM-SE EM DIREÇÕES DIFERENTES.

POSIÇÃO E DESLOCAMENTO

LOCALIZAR UM OBJETO SIGNIFICA DETERMINAR SUA POSIÇÃO RELATIVA A UM PONTO DE REFERÊNCIA, EM GERAL, A ORIGEM (OU PONTO ZERO) DE UM EIXO. PARA QUE FIQUE CLARO O SENTIDO É POSITIVO QUANDO O EIXO É CRESCENTE NA ESCALA NUMÉRICA, OU SEJA, PARA A DIREIRA, NA FIGURA. O SENTIDO NEGATIVO É O OPOSTO.

PARA REPRESENTAR BEM A POSIÇÃO OU VARIAÇÃO DE UM DETERMINADO CORPO, BASTA ASSOCIAR AO EIXO DOS ESPAÇOS A LETRA (s) QUE É MUITO UTILIZADA EM NÍVEL MÉDIO ONDE SIGNIFICA ESPAÇO OU POSIÇÃO. MAS TAMBÉM PODE SER REPRESENTADA POR (x) QUE SIGNIFICA A MESMA COISA, SÓ QUE EM LINGUAGEM ACADÊMICA NO RAMO TECNOLÓGICO-CIENTÍFICO.

QUANDO UMA PARTÍCULA (CORPO) VARIA SUA POSIÇÃO, OU DESLOCAMENTO, PODEMOS IDENTIFICAR ESTA VARIAÇÃO POR UM SÍMBOLO GREGO CHAMADO DELTA ∆, ONDE É CHAMADO DE VARIAÇÃO DE ALGO, QUE NO CASO DO DESLOCAMENTO SE CHAMA DE VARIAÇÃO DE DESLOCAMENTO ∆S OU ∆X .

VAMOS SUPOR UM EXEMPLO: UM VAGÃO SAI INICIALMENTE DO QUILÔMETRO TRÊS E MUITO DEPOIS PÁRA, NO QUILÔMETRO DOZE. PORTANTO QUAL FOI A VARIAÇÃO DE SEU DESLOCAMENTO? BASTA CALCULAR A VARIAÇÃO DOS ESPAÇOS ∆S = 12 - 3 = 9 QUILÔMETROS OU SIMPLESMENTE 9 Km. PODERÍAMOS CALCULAR DESTA FORMA ∆X = 12 - 3 = 9 Km.

O DESLOCAMENTO É UM EXEMPLO DE GRANDEZA VETORIAL, PORQUE POSSUI MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO. EM DINÂMICA NO CAPÍTULO 3 DESTE BLOG ESTUDAREMOS MAIS DETALHADAMENTE.

VELOCIDADE MÉDIA E

VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

A "VELOCIDADE MÉDIA" É IDENTIFICADA QUANDO HÁ UMA VARIAÇÃO DE POSIÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO. COMO ASSIM? QUANDO UMA PARTÍCULA (CORPO) SE MOVIMENTA DE UMA POSIÇÃO INICIAL Xo OU (So) PARA Xf OU (Sf), EM UM INSTANTE (t) TAMBÉM INICIAL E FINAL, TRATAMOS EM SI QUE EXISTE DETERMINADA VELOCIDADE NAQUELE CORPO AO QUAL ESTÁ SENDO OBSERVADO O FENÔMENO FÍSICO. A ESTE FENÔMENO DAMOS O NOME DE VELOCIDADE MÉDIA E ELA É DADA POR:

COM ISSO ENTENDEMO QUE PARA HAVER UMA DETERMINADA VELOCIDADE EM UM CORPO QUALQUER, A VELOCIDADE MÉDIA DEPENDE DA DISTÂNCIA ENTRE O PONTO INICIAL E FINAL DO MOVIMENTO.

OBSERVE OS EXEMPLOS EXPLÍCITOS LOGO ABAIXO.

A "VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA" SE DIFERENCIA DA VELOCIDADE MÉDIA PORQUE A VELOCIDADE DE UMA PARTÍCULA DEPENDE DA DISTÂNCIA TOTAL PERCORRIDA NO INTERVALO DE TEMPO.

OBSERVE OS EXEMPLOS SEGUINTES:

VELOCIDADE INSTANTÂNEA

A VELOCIDADE INSTANTÂNEA É UMA FERRAMENTA UTILIZADA PARA DESCREVER CINEMATICAMENTE FENÔMENOS ONDE A PRÓPRIA VELOCIDADE TENDE A UM VALOR LIMITE E ONDE A VARIAÇÃO DE TEMPO TENDE A ZERO, CONSTATANDO ASSIM A VELOCIDADE INSTANTÂNEA.

PARA CALCULAR TAL FENÔMENO, VOCÊ PRECISA TER NOÇÃO DE UM ASSUNTO MUITO CONHECIDO NO MEIO ACADÊMICO QUE UTILIZA A MATEMÁTICA DE NÍVEL SUPERIOR, CONHECIDA COMO DERIVADA (FERRAMENTA MATEMÁTICA MUITO USADA EM CÁLCULO).

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

A TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA DIFERE DA TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA PELO FATO DO USO DE LIMITE QUE FAZ O TEMPO SEMPRE TENDER A ZERO. COM ISSO TEMOS A NOÇÃO DA DETERMINADA RAPIDEZ EM QUE HÁ O DETERMINADO FENÔMENO. EXISTEM DIVERSOS FENÔMENOS QUE ENVOLVEM A TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA, PODENDO CITAR UM EXEMPLO DISSO.

AS MÁQUINAS FOTOGRÁFICAS BEM SOFISTICADAS QUE PODEM UTILIZAR RECURSOS DE CAPITAÇÃO DE IMAGEM EM CURTO PERÍODO DE TEMPO. QUANDO ESSE TEMPO É TÃO CURTO, COSTUMAMOS DIZER QUE ELE TENDE A UM CERTO VALOR LIMITE. GERALMENTE TOMAMOS ELE COMO ZERO. PARA ISSO TEMOS QUE ENTENDER ALGO SOBRE UM ACRÉSCIMO ESTABELECIDO AO TEMPO QUE NORMALMENTE SERIA CALCULADO. HÁ ESSE ACRÉSCIMO OU "INCREMENTO" PODEMOS ESTABELECER UMA DETERMINADA VARIAÇÃO.

GERALMENTE EM TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA CALCULAMOS SOMENTE A VARIAÇÃO DE POSIÇÃO v = ∆x/∆t. JÁ NA TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA UTILIZAMOS UM (INCREMENTO) ACRÉSCIMO AO DESLOCAMENTO PERCORRIDO. ∆x = x (t + ∆t ) - x ( t ), SENDO O INTERVALO DE TEMPO CONSIDERADO É ∆t.

TEMOS A EXPRESSÃO QUE DEFINE A TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA. OBSERVE QUE A VELOCIDADE TENDE A t", OU SEJA:

ESSE LIMITE É CHAMADO DE DERIVADA DE POSIÇÃO ( x ) EM RELAÇÃO A ( t ).

INDICAMOS POR:

OU POR v ( t ) = x' ( t ).

VOU CITAR ALGUNS EXEMPLOS DE RESOLUÇÕES DE VELOCIDADES INTANTÂNEAS.

O

O

FUNÇÃO DERIVAÇÃO

ACABAMOS DE OBSERVAR UM DOS MÉTODOS DE SE RESOLVER TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA POR MEIO DA DERIVAÇÃO. EM MUITOS CASOS, AS FUNÇÕES POR TEREM GRAUS MAIORES, QUE NECESSITAM DE ASSUNTOS COMO BINÔMIO DE NEWTON, TRIÂNGULO DE PASCAL ALÉM DE MUITA PACIÊNCIA, TERMINAM DIFICULTANDO NOS RESULTADOS PRINCIPALMENTE PARA INICIANTES QUE SÃO LEVADOS CONSTANTEMENTE A ERROS. POR ESTE MOTIVO, É QUE EXISTEM REGRAS DE DERIVAÇÕES, QUE AJUDAM A RESOLVER FUNÇÕES DE QUALQUER TIPO, TENDO POUCA DIFICULDADE, E PRINCIPALMENTE, BUSCANDO GANHAR TEMPO PARA RESOLVER AS MESMAS. DE ANTE MÃO VOU EXPLICAR SOMENTE UMA DESTAS REGRAS, TUDO PORQUE JULGO- NA IMPORTANTE PARA A OCASIÃO. SÓ QUE ANTES DE EXPLICAR, VOU MOSTRAR UM TIPO DE DERIVADA TAL COMO DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA.

DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA

QUALQUER TIPO DE FUNÇÃO QUE OBTENHA EXPOENTES DE VÁRIOS GRAUS (SENDO ESTA FUNÇÃO REAL) SE ENQUADRA PERFEITAMENTE A ESTE MÉTODO CONHECIDO COMO REGRA DE DERIVAÇÃO DA FUNÇÃO POTÊNCIA. E A SUA PRATICIDADE AJUDA-NOS A OBTER EM MENOS TEMPO RESULTADOS DE EQUAÇÕES ATÉ MESMO GIGANTESCAS SEM NENHUM PROBLEMA. AQUI SERÁ EXPLÍCITA A FORMA PELO QUAL SE CHEGA A UMA EXPRESSÃO SIMPLES APLICADA PARA ESTE TIPO DE FUNÇÃO, SEM LIMITES DE GRAUS. OBSERVE:

APLICANDO O PRINCÍPIO DO BINÔMIO DE NEWTON, CHEGAMOS A EXPRESSÃO LOGO ABAIXO.

O DEPOIS DE SE UTILIZAR A FORMA BINOMIAL, CHEGAMOS A DETERMINADA EXPRESSÃO ONDE O LIMITE DE UM VALOR QUALQUER TENDE A ZERO.

EXEMPLIFICANDO UMA FUNÇÃO HORÁRIA DE UM MOVIMENTO POR MEIO DA DERIVAÇÃO CHEGAMOS A FUNÇÃO DA VELOCIDADE SEM NENHUM PROBLEMA.

POR CONVENÇÃO DEVEMOS UTILIZAR ESTA EXPRESSÃO ABAIXO PARA FACILITAR NO CONCEITO EM SI.

AO TER VISTO A FORMA DE SE ENCONTRAR UMA DAS MUITAS REGRAS DE DERIVAÇÃO, PODEMOS OBSERVAR QUE ESTA APLICAÇÃO NOS AJUDA FACILITANDO NO PROCESSO DE SE ENCONTRAR SOLUÇÕES PARA FUNÇÕES DE PRIMEIRO, SEGUNDO OU GRAUS MUITO MAIORES SEM NENHUM PROBLEMA.

EXEMPLOS:

INTEGRAÇÃO

ESTE TIPO DE INTEGRAÇÃO É UM MÉTODO MUITO UTILIZADO PARA INVERTER DETERMINADAS FUNÇÕES. UMA INTEGRAL INDEFINIDA (ANTIDERIVADA) NADA MAIS É QUE UM PROCESSO CONTRÁRIO DE UMA DERIVADA. COSTUMAMOS CALCULAR DERIVADAS EM ESTUDOS DOS MOVIMENTOS PARA ENCONTRAR VELOCIDADES E ACELERAÇÕES INSTANTÂNEAS. SÓ QUE, UTILIZANDO A INTEGRAL INDEFINIDA, PODEMOS CHEGAR A PRIMITIVA QUE É NO CASO DO ESTUDO DO MOVIMENTO UMA EXPRESSÃO DA POSIÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO.

A ANTIDERIVADA (INTEGRAL INDEFINIDA) É ESTABELECIDA PELO SÍMBOLO ∫ (CHAMADO DE INTEGRAL). NESTE CASO PARA ENCONTRAR A PRIMITIVA, OU SEJA, A ANTIDERIVADA DE UMA FUNÇÃO POTÊNCIA DE EXPOÊNTE NATURAL, DEVEMOS UTILIZAR A SEGUINTE FÓRMULA.

C COMO FORA DITO, É UMA CONSTANTE ARBITRÁRIA, OU SEJA, ELE PODE SER QUALQUER NÚMERO. ESTA CONSTATE PODE SER ENTENDIDA COMO O TERMO INDEPENDENTE DE UMA FUNÇÃO. LOGO MAIS IREMOS ENTENDER MELHOR ESTA CONSTANTE.

VAMOS VER AGORA UM EXEMPLO DE INTEGRAL INDEFINIDA.

CONTINUAMOS O CÁLCULO PARA ENCONTRAR AS POSIÇÕES ASSUMIDAS PELO MÓVEL NOS PERÍODOS EXPLÍCITOS.

PELO VISTO VOCÊ PODE VER QUE, A CONSTANTE FOI DESPREZADA QUANDO FOI ENCONTRADA AS POSIÇÕES DO MÓVEL. MAS, VOCÊ DEVE TER SE PERGUNTADO: PARA QUE ENTÃO SERVE ESTA CONSTANTE C?

POIS BEM, VOU EXPLICAR DE FORMA CLARA. A CONSTANTE ESTABELECIDA PODE SER QUALQUER NÚMERO, TUDO PORQUE AO DERIVAR TERMOS INDEPENDENTES, USANDO REGRAS DE DERIVAÇÃO, AUTOMATICAMENTE ESTE TERMO É CANCELADO. ISSO OBEDECE AO FATO DO QUE FOI ESTUDADO SOBRE DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE. OU SEJA, QUANDO O VALOR NÃO É ACOMPANHADO POR UMA VARIAVEL INCÓGNITA ( NO CASO O TEMPO t ) SEU VALOR É ZERO.

PODEMOS COMPROVAR ISSO DERIVANDO A ÚLTIMA FUNÇÃO.

VEJA OUTRO EXEMPLO;

PARA FINALIZAR.

ISSO SÓ COMPROVA O QUE FORA VISTO ANTERIORMENTE, QUANDO SE TRATA DO TERMO INDEPENDENTE ESTABELECIDO COMO CONSTANTE ARBITRÁRIA C.

INTERPRETANDO A DERIVADA

MOVIMENTO UNIFORME

MOVIMENTO UNIFORME OU SIMPLESMENTE (MU) É UM RAMO DA FÍSICA MECÂNICA QUE SE APLICA A FENÔMENOS ONDE A VELOCIDADE SE MANTÉM CONSTANTE (NÃO MUDA) PRA TODO E QUALQUER INSTANTE, SENDO QUE HAJA MUDANÇA DE POSIÇÃO.

ESTE FENÔMENO É MUITO DIFÍCIL DE SER NOTADO PELO FATO DE QUE:
OS FATORES EXTERNOS GERALMENTE IMPEDEM QUE DETERMINADO CORPO POSSA MANTER-SE COM VELOCIDADE CONSTANTE EM UMA DETERMINADA VARIAÇÃO DE TEMPO. EXEMPLOS MAIS SIMPLES SÃO COMO O ATRITO COM OUTROS CORPOS, A RESISTÊNCIA DO AR A AÇÃO GRAVITACIONAL, ELÉTRICA, MAGNÉTICA E TANTOS OUTROS FENÔMENOS QUE IMPEDEM QUE TAL FENÔMENO ACONTEÇA.
JÁ ESTE FENÔMENO É MUITO COMUM EM REGIÕES ONDE EXISTA UM ESPAÇO AUSENTE DE QUASE TODAS ESTAS AÇÕES LOGO A POUCO CITADAS. EXEMPLO DISSO É O ESPAÇO ONDE EXISTE REGIÕES PRATICAMENTE IMPONDERÁVEIS (LIVRE PRINCIPALMENTE DE AÇÕES GRAVITACIONAIS EXERCIDAS POR OUTROS CORPOS, COMO PLANETAS, ESTRELAS E OUTROS CORPOS CELESTES).
ESTE ASSUNTO SERÁ OBSERVADO COM MAIS DETALHE PELO PRINCÍPIO DA INÉRCIA DE NEWTON, TUDO PORQUE NESTE MOMENTO SÓ SERÁ EXPLICADO MATEMATICAMENTE.
PARA DETERMINARMOS TAL FENÔMENO, PRECISAMOS TER NOÇÃO DE TRÊS GRANDEZAS FÍSICAS:

INTERPRETAÇÃO GRÁFICA

VELOCIDADE RELATIVA

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE

VARIADO

ACELERAÇÃO MÉDIA

QUANDO ESTAMOS NAS DEPENDÊNCIAS DE QUALQUER MÓVEL (ÔNIBUS, AUTOMÓVEL, TREM ETC) ENTRANDO EM MOVIMENTO OU FREANDO, OU QUANDO ESTAMOS EM UMA MONTANHA RUSSA DESCENDO EM ALTA VELOCIDADE APÓS TERMOS DADO UMA PARADINHA LÁ NO TOPO , PODEMOS EXPERIMENTAR UM FENÔMENO MUITO COMUM NAS NOSSAS VIDAS. A ESTE FENÔMENO DAMOS O NOME DE "ACELERAÇÃO" E EM MUITOS CASOS PODE SER MUITO PERIGOSO SE ESTIVERMOS EXPOSTOS A DETERMINADA ACELERAÇÃO EM GRANDE ESCALA. MAS, O QUE É ACELERAÇÃO? A ACELERAÇÃO É A VARIAÇÃO DE VELOCIDADE EM FUNÇÃO DE UM INSTANTE QUALQUER (TEMPO), OU SEJA, SÓ EXISTE TAL FENÔMENO QUANDO HÁ VARIAÇÃO DE VELOCIDADE. POR ISTO DESCARTAMOS TAL FENÔMENO EM CASOS QUE HAJA VELOCIDADE CONSTANTE. ESTA GRANDEZA É MUITO APLICADA EM MOVIMENTOS UNIFORMEMENTE VARIADOS, MOVIMENTOS CURVILÍNEOS UNIFORMEMENTE VARIADOS, EM SISTEMA DE FORÇAS E POR AI VAI. A MAIS COMUM ACELERAÇÃO É A GRAVITACIONAL SENDO CONSTANTE EM TODOS OS MOMENTOS.

POR TANTO, APRESENTA-SE A FORMULAÇÃO DE TAL GRANDEZA DA SEGUINTE FORMA:

DECOMPONDO-NA, MOSTRAMOS A ACELERAÇÃO APRESENTADA DA SEGUINTE FORMA:

DE FATO, ESTA FÓRMULA SE APLICA A QUALQUER FENÔMENO ONDE A SUA VELOCIDADE MUDA EM DETERMINADOS INSTANTES. A ACELERAÇÃO É MUITO COMUM EM NOSSO COTIDIANO, MAS COMO FOI DITO NO INÍCIO DOS NOSSOS ESTUDOS SOBRE ACELERAÇÃO, PODEMOS SOFRER CONSEQÜÊNCIAS DESAGRADÁVEIS QUANDO ESTAMOS DISPOSTOS A VARIAÇÕES DE VELOCIDADE ALTÍSSIMAS EM CURTO PERÍODO COMO QUEDA DE UMA AERONAVE, QUEDA DE UM ELEVADOR, MUDANÇA BRUSCA DE VELOCIDADE DE UM CAÇA QUE PODE NOS DESACORDAR E LEVAR ATÉ MESMO A MORTE.

ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA

FUNÇÃO DA VELOCIDADE DO MUV

NESTE CASO TRATAMOS A ACELERAÇÃO COMO CONSTANTE, OU SEJA, UM CASO ESPECIAL. É DE SE CONCORDAR QUE EXISTEM FENÔMENOS EM QUE A ACELERAÇÃO É CONSTANTE. POIS TEMOS UM EXEMPLO DISSO COMO A ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL. PARA DESENVOLVERMOS UMA FÓRMULA BÁSICA QUE DESCREVA UM MODELO DE FUNÇÃO DA VELOCIDADE, TEMOS SIMPLESMENTE QUE TRABALHAR ALGEBRICAMENTE NO INTUITO DE SE DISPOR DE UMA FÓRMULA EQUACIONAL DE PRIMEIRO GRAU.

OBSERVE LOGO ABAIXO COMO É FEITA A CONSTRUÇÃO DA FUNÇÃO, BASEADA NA FÓRMULA SIMPLES DA ACELERAÇÃO MÉDIA.

VOCÊ OBSERVOU QUE: CONSIDERANDO UM ÚNICO TEMPO PARA O QUAL ESTÁ HAVENDO O FENÔMENO, A FÓRMULA DISPOSTA FICA PERFEITAMENTE CARACTERIZADA COMO UMA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU QUE REPRESENTA A FUNÇÃO DA VELOCIDADE DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO.

OUTRA QUESTÃO A SE OBSERVAR É A SEGUINTE: ESTA FÓRMULA SÓ SE APLICA A FENÔMENOS ONDE A VELOCIDADE DOS CORPOS ANALISADOS EM QUESTÃO ESTÃO EM MOVIMENTOS UNIFORMEMENTE VARIADOS. POR TANTO, ESTA FUNÇÃO NÃO PODE SER SOLICITADA EM FENÔMENOS ONDE A VELOCIDADE DO CORPO ESTEJA SEMPRE CONSTANTE (A MESMA), INDICANDO ASSIM UMA INEXISTÊNCIA DE ACELERAÇÃO.

FUNÇÃO HORÁRIA DO MUV

EQUAÇÃO DE TORRICELLI

LANÇAMENTO VERTICAL NAS PROXIMIDADES DA SUPERFÍCIE TERRESTRE

LANÇAMENTO OBLÍQUO